Calcular o volume do segmento obtido cortando o parabolóide elíptico y^22 p+z^22 q=x pelo plano x=a. Resp. pi a^2 raizp q.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao cortar pelo plano x=a o parabolóide elíptico
y^22p+z^22q=x
O conteúdo aqui é o método dos cortes transversais: para cada x fixo, encontramos a área da seção elíptica e depois integramos de 0 a a.

Passo 2

Para um valor fixo de x, a seção é dada por
y^22p+z^22q=x ;Longrightarrow; y^22px+z^22qx=1
Isso mostra que a seção é uma elipse com semieixos
by=raiz2px e bz=raiz2qx.

Passo 3

A área A(x) da elipse de semieixos by e bz é
A(x)=pi,by,bz =piraiz2px,raiz2qx =2piraizp,q;x

Passo 4

Aplicando o método dos cortes, o volume é
V=integralx=0^aA(x),dx =integral0^a2piraizp,q;x,dx =2piraizp,q,a^22 =pi a^2raizp,q

Resposta

pi a^2raizp,q

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