Determinar a área do domínio delimitado pela curva rho=a cos 3 varphi. Resp. pi4.

Passo 1

O enunciado pede a área do domínio delimitado pela curva em coordenadas polares rho = acos(3varphi). Vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares
A = 12 integralvarphi1^varphi2 rho^2,dvarphi
e explorar a simetria da rosa de três pétalas gerada por cos(3varphi).

Passo 2

Precisamos achar o intervalo de varphi em que rho>=0, pois só nesses trechos a curva descreve cada pétala. Como
cos(3varphi)>=0 Long<=ftrightarrow - pi2 <= 3varphi <= pi2,
segue
- pi6 <= varphi <= pi6
Esse intervalo gera uma pétala. Há 3 pétalas, pois cos(3varphi) tem período 2pi3.

Passo 3

Calcular a área de uma pétala:
A1 = 12 integral-pi/6^pi/6 l(acos(3varphi)r)^2 dvarphi = a^22 integral-pi/6^pi/6 cos^2(3varphi),dvarphi
Usando cos^2theta = tfrac1+cos(2theta)2, temos
integral-pi/6^pi/6 cos^2(3varphi),dvarphi = integral-pi/6^pi/6 1+cos(6varphi)2,dvarphi = 12l[varphir]-pi/6^pi/6 + 12l[sin(6varphi)6r]-pi/6^pi/6
O termo com sin(6varphi) anula-se ( sinpi=sin(-pi)=0), e
12l[varphir]-pi/6^pi/6 = 12l(pi6 - l(-tfracpi6r)r) = pi6
Assim
A1 = a^22cdotpi6 = a^2pi12

Passo 4

Como há 3 pétalas idênticas, a área total é
A = 3,A1 = 3cdota^2pi12 = a^2pi4

Resposta

A = pi a^24

Exercícios de Livros Relacionados