Calcule a altura e o volume de um tetraedro regular de área total 12 raiz3 cm^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos um tetraedro regular cuja área total é 12raiz3 cm ^2. O conteúdo aqui é geometria espacial: vamos usar a fórmula da área de um triângulo equilátero para encontrar a aresta a, depois aplicar as fórmulas da altura e do volume de um tetraedro regular.

Passo 2

Cada face é um triângulo equilátero de lado a, cuja área é
raiz34a^2
Como há 4 faces, a área total é
4 cdot raiz34a^2 = raiz3,a^2
Igualando a 12raiz3 temos
raiz3,a^2 = 12raiz3 Longrightarrow a^2 = 12 Longrightarrow a = 2raiz3 cm

Passo 3

A altura h de um tetraedro regular (distância de um vértice ao plano da face oposta) vale
h = raiz63,a
Substituindo a=2raiz3
h = raiz63cdot 2raiz3 = 2,raiz6cdot39 = 2raiz2 cm

Passo 4

O volume V de um tetraedro regular de aresta a é
V = a^36raiz2
Como a^3 = (2raiz3)^3 = 8cdot3raiz3 = 24raiz3, temos
V = 24raiz36raiz2 = 4,raiz3raiz2 = 4raiztfrac32 = 2raiz6 cm^3

Resposta

h = 2raiz2 cm V = 2raiz6 cm^3

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