*12. Calcule a área entre y=e^x e a corda y=e x-x+1.

Passo 1

O enunciado pede a área entre a curva y=e^x e a reta secante (chorda) y= e,x - x + 1. Para isso, precisamos
  1. determinar os pontos de interseção dessas duas curvas,
  2. montar a integral definida da diferença entre reta e curva nesse intervalo,
  3. e calcular essa integral.

Passo 2

Encontramos os pontos em que
e^x = e,x - x + 1
Testando x=0: e^0=1 e ecdot0-0+1=1.
Testando x=1: e^1=e e ecdot1-1+1=e.
Logo as interseções ocorrem em x=0 e x=1.

Passo 3

Como e^x é convexa ( f''(x)=e^x>0), a reta secante fica acima da curva em [0,1]. Portanto a área procurada é
integral0^1l[(e,x - x + 1) - e^xr],dx

Passo 4

Calculemos separadamente:
integral0^1(e,x - x + 1),dx = [e,x^22-x^22+x]0^1 = e2-12+1 = e+12
E
integral0^1e^x,dx = l[e^xr]0^1 = e-1

Passo 5

Subtraindo,
integral0^1l[(e,x - x + 1) - e^xr]dx = e+12 - (e-1) = e+1 - 2e +22 = 3 - e2

Resposta

3 - e2

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