Calcule
∫∫∫𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2𝑥+2𝑦−1.

Passo 1

O enunciado pede o volume
\iiint_{B}dx\,dy\,dz,
onde
B=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le 2x+2y-1\}.
O conteúdo envolve projetar B no plano xy, escrever a integral tripla como dupla em D\subset\mathbb{R}^2 e depois usar coordenadas polares para calcular.

Passo 2

Para existir z tal que
x^2+y^2\le z\le 2x+2y-1
é necessário
x^2+y^2\le 2x+2y-1.
Logo a projeção de B no plano xy é
D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2x+2y-1\}.

Passo 3

Na projeção D o volume é
\iint_{D}\bigl[(2x+2y-1)-(x^2+y^2)\bigr]\,dx\,dy.

Passo 4

Complete o quadrado em x^2+y^2\le 2x+2y-1. Escrevendo
x^2-2x+y^2-2y\le -1\;\Longleftrightarrow\;(x-1)^2+(y-1)^2\le1.
Logo D é o disco de centro (1,1) e raio 1. Faça a mudança
\begin{cases} u=x-1,\\\ v=y-1, \end{cases}
ficando
D_{uv}:\;u^2+v^2\le1
e o integrando
(2x+2y-1)-(x^2+y^2) =1-(u^2+v^2).

Passo 5

Passe para coordenadas polares em (u,v), com
u=r\cos\theta,\quad v=r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\;\;0\le\theta\le2\pi,
e jacobiano r. O volume vira
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\bigl[1-r^2\bigr]\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcule a integral em r:
\int_{0}^{1}(r-r^3)\,dr =\Bigl[\tfrac{r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12-\tfrac14=\tfrac14.
Multiplicando por 2\pi
2\pi\cdot\tfrac14=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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