Calcule
∫∫∫𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2𝑥+2𝑦−1.
∫∫∫𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2𝑥+2𝑦−1.
Passo 1
O enunciado pede o volume
onde
O conteúdo envolve projetar
no plano
, escrever a integral tripla como dupla em
e depois usar coordenadas polares para calcular.
Passo 2
Para existir
tal que
é necessário
Logo a projeção de
no plano
é
Passo 3
Na projeção
o volume é
Passo 4
Complete o quadrado em
. Escrevendo
Logo
é o disco de centro
e raio
. Faça a mudança
ficando
e o integrando
Passo 5
Passe para coordenadas polares em
, com
e jacobiano
. O volume vira
Passo 6
Calcule a integral em
:
Multiplicando por
dá