Calcule
∫∫∫𝐵 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 1, 𝑥2+𝑦2+𝑧2 ≤ 4 e 𝑧 ≥ 0.
∫∫∫𝐵 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 1, 𝑥2+𝑦2+𝑧2 ≤ 4 e 𝑧 ≥ 0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é definido por
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, pois temos simetria em
. Vamos precisar do jacobiano
e dos limites em
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
temos
As condições viram
O limite
vem da esfera
.
Passo 3
Fazendo a mudança, o volume elementar é
. Assim a integral fica
Passo 4
Integramos em
primeiro:
Passo 5
Agora em
e
:
Calculando
Logo a integral total é