Calcule
∫∫∫𝐵 2𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+𝑦2 ≤ 1, 𝑥2+𝑦2+𝑧2 ≤ 4 e 𝑧 ≥ 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B}2z\,dx\,dy\,dz
onde B é definido por
x^2+y^2\le1,\quad x^2+y^2+z^2\le4,\quad z\ge0.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, pois temos simetria em x,y. Vamos precisar do jacobiano r e dos limites em r,\theta,z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos
x^2+y^2=r^2.
As condições viram
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le\sqrt{4-r^2}.
O limite z\le\sqrt{4-r^2} vem da esfera r^2+z^2\le4.

Passo 3

Fazendo a mudança, o volume elementar é dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz. Assim a integral fica
\iiint_{B}2z\,dx\,dy\,dz =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{\sqrt{4-r^2}}2z\,(r\,dz\,dr\,d\theta).

Passo 4

Integramos em z primeiro:
\int_{0}^{\sqrt{4-r^2}}2z\,r\,dz =2r\int_{0}^{\sqrt{4-r^2}}z\,dz =2r\cdot\frac{(\sqrt{4-r^2})^2}{2} =r\bigl(4-r^2\bigr) =4r-r^3.

Passo 5

Agora em r e \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi}\!d\theta\int_{r=0}^{1}(4r-r^3)\,dr =2\pi\int_{0}^{1}(4r-r^3)\,dr.
Calculando
\int_{0}^{1}(4r-r^3)\,dr =\Bigl[2r^2-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =2-\tfrac14 =\tfrac74.
Logo a integral total é
2\pi\cdot\tfrac74 =\tfrac{7\pi}{2}.

Resposta

\frac{7\pi}{2}.

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