Calcule
∫∫∫𝐵 cos𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 0 ≤ 𝑥 ≤ π/2, 0 ≤ 𝑦 ≤ π/2 e 𝑥−𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla de \cos z sobre o conjunto
B = \{(x,y,z)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2},\;x-y\le z\le x+y\}.
O conteúdo usado será integração iterada (primeiro em z, depois em x e y) e uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada e integramos em z:
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{x-y}^{\,x+y}\cos z\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Bigl[\sin z\Bigr]_{z=x-y}^{\,z=x+y}\,dy\,dx
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\sin(x+y)-\sin(x-y)\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Aplicamos a identidade
\sin A - \sin B = 2\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr)
com A=x+y e B=x-y. Assim
\sin(x+y)-\sin(x-y) =2\cos\!\bigl(x\bigr)\,\sin\!\bigl(y\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral, ela se separa em x e y:
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\cos x\,\sin y\,dy\,dx =2\Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin y\,dy\Bigr).

Passo 5

Calculamos cada integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx =\Bigl[\sin x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1, \qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin y\,dy =\Bigl[-\cos y\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1.
Logo I=2\cdot1\cdot1=2.

Resposta

O valor da integral é 2.

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