Calcule
∫∫∫𝐵 cos𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 0 ≤ 𝑥 ≤ π/2, 0 ≤ 𝑦 ≤ π/2 e 𝑥−𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦.
∫∫∫𝐵 cos𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 0 ≤ 𝑥 ≤ π/2, 0 ≤ 𝑦 ≤ π/2 e 𝑥−𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥+𝑦.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla de
sobre o conjunto
O conteúdo usado será integração iterada (primeiro em
, depois em
e
) e uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.
Passo 2
Escrevemos a integral iterada e integramos em
:
Passo 3
Aplicamos a identidade
com
e
. Assim
Passo 4
Substituindo na integral, ela se separa em
e
:
Passo 5
Calculamos cada integral:
Logo
.
Resposta
O valor da integral é
.