Calcule a derivada da função dada.
h(t)=\frac{e^{t}+t}{\ln t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(t)=\frac{e^{t}+t}{\ln t}.
O conteúdo é diferencial de quociente de funções, e vamos usar a regra do quociente, além das derivadas de e^{t}, de t e de \ln t.

Passo 2

Seja
f(t)=e^{t}+t
e
g(t)=\ln t.
Precisamos das derivadas:
f'(t)=\frac{d}{dt}(e^{t}+t)=e^{t}+1,
g'(t)=\frac{d}{dt}(\ln t)=\frac{1}{t}.

Passo 3

A regra do quociente diz que
h'(t)=\frac{f'(t)\,g(t)-f(t)\,g'(t)}{\bigl(g(t)\bigr)^{2}}.
Substituindo f, f', g e g', obtemos
h'(t) =\frac{\bigl(e^{t}+1\bigr)\ln t \;-\;(e^{t}+t)\,\frac{1}{t}}{(\ln t)^{2}}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
(e^{t}+1)\ln t \;-\;\frac{e^{t}+t}{t} =(e^{t}+1)\ln t \;-\;\frac{e^{t}}{t}\;-\;1.
Não há fator comum evidente para fatorar além de reescrever, então a forma simplificada da derivada é
h'(t) =\frac{(e^{t}+1)\ln t \;-\;\dfrac{e^{t}}{t}\;-\;1}{(\ln t)^{2}}.

Resposta

h'(t) =\frac{(e^{t}+1)\ln t \;-\;\dfrac{e^{t}}{t}\;-\;1}{(\ln t)^{2}}.

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