Calcule a derivada da função dada.
g(s)=\left(e^{\mathrm{s}}+s+1\right)\left(2 e^{-s}+s\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \r
g(s)=\bigl(e^{s}+s+1\bigr)\bigl(2e^{-s}+s\bigr).\r
Isso envolve o conteúdo de regra do produto e derivadas de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Definimos os fatores \r
f(s)=e^{s}+s+1\r
e\r
h(s)=2e^{-s}+s.\r
Aplicamos a derivada em cada um: \r
f'(s)=\frac{d}{ds}\bigl(e^{s}+s+1\bigr)=e^{s}+1,\r
pois \frac{d}{ds}e^s=e^s e \frac{d}{ds}s=1.

Passo 3

Agora calculamos \r
h'(s)=\frac{d}{ds}\bigl(2e^{-s}+s\bigr)=2\cdot(-e^{-s})+1=-2e^{-s}+1,\r
já que \frac{d}{ds}e^{-s}=-e^{-s}.

Passo 4

Pela regra do produto,\r
g'(s)=f'(s)\,h(s)+f(s)\,h'(s).\r
Substituindo os valores encontrados,\r
g'(s)=(e^{s}+1)\bigl(2e^{-s}+s\bigr)+(e^{s}+s+1)\bigl(-2e^{-s}+1\bigr).

Passo 5

Agora basta expandir e simplificar. Primeiro termo:\r
(e^{s}+1)(2e^{-s}+s)=2+s e^{s}+2e^{-s}+s.\r
Segundo termo:\r
(e^{s}+s+1)(-2e^{-s}+1) =e^{s}+s+1-2-2s e^{-s}-2e^{-s} =e^{s}+s-1-2s e^{-s}-2e^{-s}.\r
Somando ambos,\r
g'(s)=\bigl(2+s e^{s}+2e^{-s}+s\bigr) +\bigl(e^{s}+s-1-2s e^{-s}-2e^{-s}\bigr),\r
que simplifica para\r
g'(s)=(s+1)e^{s}-2s e^{-s}+2s+1.

Resposta

g'(s)=(s+1)e^{s}-2s e^{-s}+2s+1.

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