Calcule a derivada da função dada.
g(u)=\ln \left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(u)=\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr).
Para resolver vamos usar o Regra da Cadeia (derivada de \ln) e a fórmula da derivada de \sqrt{\cdot}.

Passo 2

Definimos a função interna
h(u)=u+\sqrt{u^{2}+1}.
Pela regra da cadeia,
g'(u)=\frac{h'(u)}{h(u)}.

Passo 3

Calculamos h'(u). Temos
\frac{d}{du}\bigl(u\bigr)=1, \quad \frac{d}{du}\bigl(\sqrt{u^{2}+1}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{u^{2}+1}}\cdot 2u =\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}.
Logo,
h'(u)=1+\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}} =\frac{\sqrt{u^{2}+1}+u}{\sqrt{u^{2}+1}}.

Passo 4

Substituindo em g'(u)=h'(u)/h(u), obtemos
g'(u) =\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{u^{2}+1}+u}{\sqrt{u^{2}+1}}} {\,u+\sqrt{u^{2}+1}\,} =\frac{\sqrt{u^{2}+1}+u}{\sqrt{u^{2}+1}\,\bigl(u+\sqrt{u^{2}+1}\bigr)}.
Note que \sqrt{u^{2}+1}+u cancela com u+\sqrt{u^{2}+1}, sobrando
g'(u)=\frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}.

Resposta

g'(u)=\frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}.

Exercícios de Livros Relacionados