Calcule a derivada da função dada.
f(x)=\ln \left(e^{x}+x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(e^{x}+x\bigr). Para resolver, vamos usar a derivada de logaritmo natural e a regra da cadeia, aplicando também as derivadas de e^{x} e de x.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=e^{x}+x.
Como \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \frac{d}{dx}x=1, segue que
g'(x)=e^{x}+1.

Passo 3

Pela regra da cadeia para logaritmo natural, temos
\frac{d}{dx}\ln\bigl(g(x)\bigr)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Substituindo g(x) e g'(x), obtemos
f'(x)=\frac{e^{x}+1}{\,e^{x}+x\,}.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.

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