Calcule a derivada da função dada.
L(x)=\ln \left[\frac{x^{2}+2 x-3}{x^{2}+2 x+1}\right]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
L(x)=\ln\!\Bigl[\tfrac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+2x+1}\Bigr].
Esse problema envolve derivada de função logarítmica composta, então vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+2x+1}
e aplicamos a derivada de \ln(u), que é
L'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Para encontrar u'(x), note que u é quociente de N(x)=x^{2}+2x-3 e D(x)=x^{2}+2x+1. Pela regra do quociente:
u'(x)=\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{\bigl[D(x)\bigr]^{2}},
onde
N'(x)=2x+2,\quad D'(x)=2x+2.

Passo 4

Calculando o numerador:
N'(x)D(x)-N(x)D'(x) =(2x+2)(x^{2}+2x+1)-(x^{2}+2x-3)(2x+2).
Fatorando 2x+2=2(x+1) e observando que
(x^{2}+2x+1)-(x^{2}+2x-3)=4,
temos
N'(x)D(x)-N(x)D'(x)=4\cdot(2x+2)=8(x+1).
Portanto,
u'(x)=\frac{8(x+1)}{(x^{2}+2x+1)^{2}}.
Como x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, segue
u'(x)=\frac{8}{(x+1)^{3}}.

Passo 5

Substituindo em L'(x)=u'(x)/u(x):
L'(x) =\frac{8/(x+1)^{3}}{\bigl[(x^{2}+2x-3)/(x+1)^{2}\bigr]} =\frac{8}{(x+1)^{3}}\cdot\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+2x-3} =\frac{8}{(x+1)\,(x^{2}+2x-3)}.
Fatorando x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1), obtemos
L'(x)=\frac{8}{(x+1)(x+3)(x-1)}.

Resposta

L'(x)=\frac{8}{(x+1)(x+3)(x-1)}.

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