Calcule a derivada da função dada.
f(x)=x \log _{10} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = x \log_{10} x
Para resolver, vamos usar a regra do produto e a derivada do logaritmo de base 10.

Passo 2

Definimos
u(x) = x,\quad v(x) = \log_{10} x
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = 1.
Como \displaystyle \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}, temos
v'(x) = \frac{1}{\ln 10}\,\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{\ln 10}\,\frac{1}{x} = \frac{1}{x\,\ln 10}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) = 1 \cdot \log_{10} x + x \cdot \frac{1}{x\,\ln 10} = \log_{10} x + \frac{1}{\ln 10}.

Resposta

f'(x) = \log_{10} x + \frac{1}{\ln 10}.

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