Calcule a derivada da seguinte função:
f(x)=(x^2+1)^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^2+1r)^x
O conteúdo aqui é a derivada de uma função com base e expoente variáveis. Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica, que consiste em tomar o logaritmo da função e depois aplicar regras de derivação (regra do produto e cadeia).

Passo 2

Definimos
y = f(x) = l(x^2+1r)^x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln(y) = lnl((x^2+1)^xr)
Usando a propriedade de logaritmo de potência,
ln(y) = x ,lnl(x^2+1r)

Passo 3

Agora derivamos cada lado em relação a x. Do lado esquerdo, pela regra da derivada de ln(y), temos
1y,dydx
Do lado direito, aplicamos a regra do produto em x ln(x^2+1):
ddxl[x ln(x^2+1)r] = 1cdot ln(x^2+1) + x cdot 1x^2+1cdot 2x = ln(x^2+1) + 2x^2x^2+1

Passo 4

Igualando as derivadas,
1y,dydx = ln(x^2+1) + 2x^2x^2+1
Multiplicando ambos os lados por y para isolar dydx, e lembrando que y=(x^2+1)^x, obtemos
dydx = y;l(ln(x^2+1) + 2x^2x^2+1r) = (x^2+1)^x,l(ln(x^2+1) + 2x^2x^2+1r)

Resposta

f'(x) = (x^2+1)^x,l(ln(x^2+1) + 2x^2x^2+1r)

Exercícios de Livros Relacionados