Calcule os determinantes, utilizando as propriedades anteriores:
\left| ccca x & 2 a & a^2 x & 4 & 1 3 x & 6 & 2\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
ax & 2a & a^2 x & 4 & 1 3x & 6 & 2
O conteúdo principal é o uso de propriedades de determinantes: fator comum em linha, operações elementares de linha e expansão por cofatores.

Passo 2

Fatoramos a na primeira linha. Como ao tirar um fator a de uma linha o determinante é multiplicado por a, obtemos
D ;=;det ax & 2a & a^2 x & 4 & 1 3x & 6 & 2 ;=;a;det x & 2 & a x & 4 & 1 3x & 6 & 2

Passo 3

Aplicamos operações de linha que não alteram o determinante:
L1to L1-L2, L3to L3-3,L2
A matriz vira
0 & -2 & a-1 x & 4 & 1 0 & -6 & -1

Passo 4

Expandimos agora ao longo da primeira coluna, que tem dois zeros. O único termo não nulo vem da posição (2,1):
det 0 & -2 & a-1 x & 4 & 1 0 & -6 & -1 = (-1)^2+1,x, det-2 & a-1 -6 & -1 =-,xl[(-2)(-1)-(-6)(a-1)r]
Calculando o menor:
(-2)(-1)-(-6)(a-1)=2+6(a-1)=6a-4
Logo
detl(dotsr)=-,x(6a-4)

Passo 5

Reintroduzindo o fator a retirado no Passo 2, temos
D=al[-x(6a-4)r]=-a,x,(6a-4)=-2a,x,(3a-2)=2a,x,(2-3a)

Resposta

2a,x,(2-3a)

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