Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos números 5,8,10 e que a diagonal mede 63 cm .

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos as arestas de um paralelepípedo retângulo cujas medidas são proporcionais a 5, 8 e 10, e cuja diagonal espacial mede 63,cm. O conteúdo principal é usar o Teorema de Pitágoras no espaço, segundo o qual, se as arestas valem x, y e z, então
D = raizx^2 + y^2 + z^2,

Passo 2

Sejam as arestas
x = 5k, y = 8k, z = 10k
para alguma constante de proporcionalidade k>0. Como a diagonal D=63 satisfaz
(5k)^2 + (8k)^2 + (10k)^2 = 63^2,
temos a equação
25k^2 + 64k^2 + 100k^2 = 3969

Passo 3

Somando os termos em k^2 obtemos
189,k^2 = 3969 Longrightarrow k^2 = 3969189 = 21 Longrightarrow k = raiz21

Passo 4

As dimensões do paralelepípedo são então
x = 5k = 5raiz21,cm
y = 8k = 8raiz21,cm
z = 10k = 10raiz21,cm

Resposta

As arestas medem 5raiz21 cm, 8raiz21 cm e 10raiz21 cm.

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