Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi} \int_{2}^{4} \int_{0}^{1} r e^{z} d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{4}\int_{0}^{1}r\,e^{z}\,dz\,dr\,d\theta.
O conteúdo envolve integrais iteradas e o Teorema de Fubini, que nos permite integrar uma variável de cada vez, mantendo as outras como constantes no processo.

Passo 2

Integramos primeiro em z. Como r é constante em relação a z, temos
\int_{0}^{1}r\,e^{z}\,dz = r\int_{0}^{1}e^{z}\,dz = r\bigl[e^{z}\bigr]_{0}^{1} = r\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = r\,(e-1).

Passo 3

Agora integramos em r, passando o fator (e-1) para fora da integral:
\int_{2}^{4}r\,(e-1)\,dr =(e-1)\int_{2}^{4}r\,dr =(e-1)\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{2}^{4} =(e-1)\,\frac{16-4}{2} =6\,(e-1).

Passo 4

Por fim, integramos em \theta, onde 6(e-1) é constante:
\int_{0}^{\pi}6\,(e-1)\,d\theta =6\,(e-1)\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi} =6\,(e-1)\,\pi.

Resposta

6\pi\,(e-1).

Exercícios de Livros Relacionados