Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{\pi / 4} \int_{2 \operatorname{sen} \theta}^{2 \cos \theta} \int_{0}^{r \operatorname{sen} \theta} r^{2} \cos \theta d z d r d \theta

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi/4}\int_{2\sin\theta}^{2\cos\theta}\int_{0}^{r\sin\theta}r^{2}\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta.
Para isso, vamos integrar em ordem z, depois r e por fim \theta, usando identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Integramos primeiro em z. Como r^{2}\cos\theta é constante em relação a z, temos
\int_{0}^{r\sin\theta}r^{2}\cos\theta\,dz = r^{2}\cos\theta\bigl[z\bigr]_{0}^{r\sin\theta} = r^{2}\cos\theta\,(r\sin\theta) = r^{3}\sin\theta\cos\theta.

Passo 3

Agora integramos em r:
\int_{2\sin\theta}^{2\cos\theta}r^{3}\sin\theta\cos\theta\,dr =\sin\theta\cos\theta\int_{2\sin\theta}^{2\cos\theta}r^{3}\,dr =\sin\theta\cos\theta\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{2\sin\theta}^{2\cos\theta}.
Como
(2\cos\theta)^{4}-(2\sin\theta)^{4} =16\bigl(\cos^{4}\theta-\sin^{4}\theta\bigr) =16\cos2\theta,
segue
\sin\theta\cos\theta\cdot\frac{16\cos2\theta}{4} =2\,\sin\theta\cos\theta\cos2\theta =\sin2\theta\cos2\theta =\tfrac12\sin4\theta\cdot 2 =\sin4\theta.

Passo 4

Por fim, integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/4}\sin4\theta\,d\theta =\left[-\frac{1}{4}\cos4\theta\right]_{0}^{\pi/4} =-\tfrac{1}{4}\bigl(\cos\pi-\cos0\bigr) =-\tfrac{1}{4}\bigl(-1-1\bigr) =\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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