Calcule o menor número natural de:
8 divisores;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o menor número natural cujo número de divisores seja exatamente oito. Esse problema envolve a função “número de divisores” tau(n) e a fórmula de contagem de divisores a partir da fatoração prima de n.

Passo 2

Para um número natural n com fatoração
n = p1^a1 p2^a2 cdots pk^ak,
onde p1,p2,dots,pk são primos distintos e ai>=1, o número de divisores de n é
tau(n) = (a1 + 1),(a2 + 1)cdots(ak + 1)

Passo 3

Queremos tau(n)=8. Então devemos escrever o inteiro 8 como produto de inteiros maiores que 1, correspondendo aos fatores (ai+1). As possibilidades são
  1. 8 = 8, isto é, um único primo com expoente 7.
  2. 8 = 4 times 2, isto é, dois primos com expoentes 3 e 1.
  3. 8 = 2 times 2 times 2, isto é, três primos cada um com expoente 1.

Passo 4

Para cada caso, escolhemos primos mínimos para minimizar n:
Caso 1: n = p^7. O menor primo é 2, logo
n = 2^7 = 128
Caso 2: n = p^3 q^1. Os menores primos são p=2 e q=3, então
n = 2^3 times 3 = 8 times 3 = 24
Caso 3: n = p q r com três primos distintos. Os três menores são 2,3,5, então
n = 2 times 3 times 5 = 30
Desses valores, 24 é o menor.

Resposta

O menor número natural que possui exatamente oito divisores é 24.

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