Calcule o menor número natural de:
25 divisores;

Passo 1

O enunciado pede o menor número natural n tal que o número de divisores de n, denotado por tau(n), seja igual a 25. Vamos usar teoria de fatoração prima e a fórmula da função divisor.

Passo 2

Seja
n = p1^a1 ,p2^a2 cdots pk^ak
a fatoração prima de n. Sabemos que
tau(n) = (a1+1)(a2+1)cdots(ak+1)
Queremos tau(n)=25.

Passo 3

Fatoramos 25 em produto de inteiros maiores que 1:
25 = 25 ou 25 = 5times5
Isto gera dois padrões de expoentes:
  1. a1+1 = 25, logo a1 = 24.
  2. a1+1 = 5 e a2+1 = 5, logo a1=a2=4.

Passo 4

Para minimizar n escolhemos sempre os menores primos:
  1. Caso a1=24:
n1 = 2^24 = 16777216
  1. Caso a1=4 e a2=4:
n2 = 2^4cdot3^4 = 16cdot81 = 1296
Comparando, 1296 < 16777216.

Resposta

O menor número natural com exatamente 25 divisores é 1296.

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