Calcule o número de diagonais da base de uma pirâmide, sabendo que a soma dos ângulos internos de todas as suas faces é igual a 32 retos.

Passo 1

O enunciado diz respeito a uma pirâmide cuja base é um polígono de n lados (um n-gono) e tem n faces laterais triangulares. Sabemos que a soma dos ângulos internos de todas as faces (base + laterais) é igual a 32 retos ( 1 reto = 90^circ). Vamos achar n e depois calcular o número de diagonais da base.

Passo 2

Primeiro vamos expressar a soma dos ângulos internos em retos:
A base é um n-gono, então
Sbase = (n-2)cdot 180^circ = 2(n-2) retos
Cada face lateral é um triângulo, logo cada uma contribui com
Striângulo = 180^circ = 2 retos, â
e como há n faces laterais,
Slaterais = n times 2 retos = 2n retos
Assim, a soma total é
Stotal = Sbase + Slaterais = 2(n-2) + 2n = 4n - 4 retos

Passo 3

Igualando ao valor dado,
4n - 4 = 32
temos
4n = 36 Longrightarrow n = 9

Passo 4

A base é, portanto, um eneágono ( 9-gono). O número de diagonais de um n-gono é dado por
n(n-3)2

Passo 5

Substituindo n=9,
9,(9-3)2 = 9cdot 62 = 27

Resposta

O número de diagonais da base é 27.

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