Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
Passo 1
O enunciado pede os pontos de máximo e de mínimo relativos da função
O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial: encontrar a derivada primeira, achar seus zeros (pontos críticos) e usar o teste da primeira derivada (análise de sinal) para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou nenhum dos dois.
Passo 2
Calculamos a derivada
aplicando a regra do produto a
Temos
então
Fatorando
, obtemos
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
. Assim,
dá as soluções
Não há pontos onde
deixa de existir, pois é polinomial.
Passo 4
Para classificar cada ponto, analisamos o sinal de
nos intervalos determinados por
. Note que
e anula só em
, sem mudança de sinal. Então o sinal de
vem de
e
:
– Para
:
e
.
– Para :
e
.
– Para :
e
.
– Para : idem ao intervalo anterior,
.
– Para
– Para
– Para
Resumo do teste da primeira derivada:
Passo 5
Da análise de sinal vemos:
– Em ,
passa de positivo para negativo
ponto de máximo relativo.
– Em ,
passa de negativo para positivo
ponto de mínimo relativo.
– Em ,
não muda de sinal (positiva
zero
positiva)
não é nem máximo nem mínimo (horizontal de inflexão).
– Em
– Em
– Em
Agora avaliamos
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Resposta
Máximo relativo em
.
Mínimo relativo em .
Mínimo relativo em