Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
y=(x+2)^2(x-1)^3

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo e de mínimo relativos da função
y=(x+2)^2(x-1)^3
O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial: encontrar a derivada primeira, achar seus zeros (pontos críticos) e usar o teste da primeira derivada (análise de sinal) para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou nenhum dos dois.

Passo 2

Calculamos a derivada y' aplicando a regra do produto a
u=(x+2)^2, v=(x-1)^3
Temos
u'=2(x+2), v'=3(x-1)^2,
então
y' = u',v + u,v' =2(x+2)(x-1)^3 + (x+2)^2,3(x-1)^2
Fatorando (x+2)(x-1)^2, obtemos
y'=(x+2)(x-1)^2l[2(x-1)+3(x+2)r] =(x+2)(x-1)^2(5x+4)

Passo 3

Os pontos críticos vêm de y'=0. Assim,
(x+2)(x-1)^2(5x+4)=0
dá as soluções
x=-2, x=1, x=-tfrac45
Não há pontos onde y' deixa de existir, pois é polinomial.

Passo 4

Para classificar cada ponto, analisamos o sinal de y' nos intervalos determinados por -infty,-2,-tfrac45,1,infty. Note que (x-1)^2>=0 e anula só em x=1, sem mudança de sinal. Então o sinal de y' vem de (x+2) e (5x+4):
– Para x<-2: x+2<0 e 5x+4<0 Rightarrow y'>0.
– Para -2<x<-tfrac45: x+2>0 e 5x+4<0 Rightarrow y'<0.
– Para -tfrac45<x<1: x+2>0 e 5x+4>0 Rightarrow y'>0.
– Para x>1: idem ao intervalo anterior, y'>0.
Resumo do teste da primeira derivada:
c|cccccc x&-infty& &-2& &-tfrac45& &1& &+inftyhline y'&+&longrightarrow&0&searrow&0&nearrow&0&to&+

Passo 5

Da análise de sinal vemos:
– Em x=-2, y' passa de positivo para negativo Rightarrow ponto de máximo relativo.
– Em x=-tfrac45, y' passa de negativo para positivo Rightarrow ponto de mínimo relativo.
– Em x=1, y' não muda de sinal (positiva to zero to positiva) Rightarrow não é nem máximo nem mínimo (horizontal de inflexão).
Agora avaliamos y nesses pontos:
Para x=-2:
y(-2)=(0)^2cdot(-3)^3=0
Para x=-tfrac45:
yl(-tfrac45r)=l(tfrac65r)^2cdotl(-tfrac95r)^3 =3625cdotl(-tfrac729125r) =-262443125

Resposta

Máximo relativo em l(-2,0r).
Mínimo relativo em l(-tfrac45,-tfrac262443125r).

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