Uma fábrica de refrigerantes usa latas cilíndricas cujos volumes devem ser iguis a 256 cm^3. Determine a altura e o raio das bases para minimizar a área da superfície.

Passo 1

O enunciado descreve uma lata cilíndrica de volume fixo igual a 256, cm^3 e pede para escolher raio r e altura h de modo a minimizar a área total da superfície. Vamos usar as fórmulas de volume e área de um cilindro e aplicar derivação para encontrar o mínimo.

Passo 2

Seja r o raio da base e h a altura. A área da superfície de um cilindro é
S = 2pi r^2 + 2pi r h,
onde o primeiro termo é a soma das áreas das duas bases e o segundo é a área lateral. A restrição de volume é
pi r^2 h = 256

Passo 3

Da restrição de volume isolamos h:
h = 256pi r^2
Substituindo em S obtemos uma função de r só:
S(r) = 2pi r^2 + 2pi r ,256pi r^2 = 2pi r^2 + 512r

Passo 4

Para minimizar S(r) calculamos a derivada e igualamos a zero:
S'(r) = ddrl(2pi r^2 + 512r^-1r) = 4pi r - 512,r^-2
Da condição S'(r)=0 segue
4pi r = 512r^2 Longrightarrow r^3 = 128pi

Passo 5

Logo o raio ótimo é
r = l(tfrac128pir)^!1/3
E a altura correspondente, usando h=256/(pi r^2), fica
h = 256pi r^2 = 2r,
ou seja, a altura vale o diâmetro da base.

Resposta

O raio que minimiza a área é
r = l(tfrac128pir)^!1/3approx 3,42;cm,
e a altura ótima é
h = 2rapprox 6,84;cm

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