Uma fábrica de refrigerantes usa latas cilíndricas cujos volumes devem ser iguis a 256
. Determine a altura e o raio das bases para minimizar a área da superfície.
Passo 1
O enunciado descreve uma lata cilíndrica de volume fixo igual a
,
e pede para escolher raio
e altura
de modo a minimizar a área total da superfície. Vamos usar as fórmulas de volume e área de um cilindro e aplicar derivação para encontrar o mínimo.
Passo 2
Seja
o raio da base e
a altura. A área da superfície de um cilindro é
onde o primeiro termo é a soma das áreas das duas bases e o segundo é a área lateral. A restrição de volume é
Passo 3
Da restrição de volume isolamos
:
Substituindo em
obtemos uma função de
só:
Passo 4
Para minimizar
calculamos a derivada e igualamos a zero:
Da condição
segue
Passo 5
Logo o raio ótimo é
E a altura correspondente, usando
, fica
ou seja, a altura vale o diâmetro da base.
Resposta
O raio que minimiza a área é
e a altura ótima é