Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
y=x^2 raiz3-x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos relativos da função
y = x^2raiz3 - x^2,
cujo domínio é dado pela condição 3 - x^2>=0, isto é, -raiz3<= x<= raiz3. Vamos usar cálculo de derivada para encontrar pontos críticos e depois estudar o sinal de y' para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Calculamos y' aplicando a regra do produto e a regra da cadeia. Escrevendo
y = x^2(3 - x^2)^1/2,
temos
y' = 2x,(3 - x^2)^1/2 + x^2,12(3 - x^2)^-1/2(-2x)
Fatorando e simplificando, obtemos
y' = 2x(3 - x^2) - x^3raiz3 - x^2 = 6x - 3x^3raiz3 - x^2 = 3x(2 - x^2)raiz3 - x^2

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem y'=0 ou pontos onde y' não existe (dentro do domínio aberto). Como o denominador raiz3 - x^2 só zera em x=pmraiz3 (extremidades do domínio), focamos em
3x(2 - x^2) = 0 ;Longrightarrow; x = 0, x = pmraiz2

Passo 4

Para classificar:
– Em x=0: para x<0 pequeno, y'<0; para x>0 pequeno, y'>0. Então y' vai de negativo a positivo, caracterizando um mínimo relativo em x=0, com y(0)=0.
– Em x=raiz2: para x<raiz2 achamos y'>0 e para x>raiz2 (até raiz3) achamos y'<0. Isso indica máximo relativo em x=raiz2. O valor é
y(raiz2) = (raiz2)^2raiz3 - 2 = 2cdot1 = 2
– Em x=-raiz2: de modo análogo y' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), dando máximo relativo em x=-raiz2 com
y(-raiz2) = 2

Resposta

Os extremos relativos são:
x=0 é mínimo relativo com y(0)=0.
x=pmraiz2 são máximos relativos com y(pmraiz2)=2.

Exercícios de Livros Relacionados