Seja y=x^m(1-x^n), onde m, n são números naturais. Verifique:
Se m é par, y tem um ponto de mínimo em x=0.

Passo 1

O enunciado define a função
y = x^ml(1 - x^nr)
onde m,ninN. Queremos mostrar que, se m é par, então x=0 é ponto de mínimo local de y. Para isso vamos calcular y(0) e analisar o sinal de y(x) numa vizinhança de zero, aplicando a definição de mínimo local.

Passo 2

Primeiro, note que
y(0) = 0^ml(1 - 0^nr) = 0
Agora, para lvert xrvert<1 temos x^n pequeno, logo
1 - x^n > 0
Além disso, como m é par,
x^m>= 0para todo (x)
Portanto, em lvert xrvert<1,
y(x) = x^m(1 - x^n) >= 0

Passo 3

Vimos que y(0)=0 e que há uma vizinhança de x=0 (por exemplo lvert xrvert<1) em que
y(x)>= 0 = y(0)
Pela definição de mínimo local, isso prova que y tem um ponto de mínimo em x=0.

Resposta

Se m é par, então y=x^m(1-x^n) tem ponto de mínimo em x=0.

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