Calcule y^prime prime(x) se:
x^2+6 x y+y^2=8

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^2+6,x,y+y^2=8
e pede y''(x). O conteúdo aqui é derivação implícita junto com produto e quociente, pois vamos precisar de y' e depois de y''.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando produto em 6xy e regra da cadeia em y^2, obtemos
2x + 6l(x,y'!+yr) + 2y,y' = 0
Agrupando termos em y', temos
y'(6x+2y) + (2x+6y)=0 Longrightarrow y' = -2x+6y6x+2y = -x+3y3x+y

Passo 3

Para achar y'', aplicamos a derivada em
y' = -AB,
onde definimos A = x+3y e B = 3x+y. Pela regra do quociente,
ddxl(tfracABr) = A'B - A,B'B^2,
então
y'' = -A'B - A,B'B^2 = A,B' - A'BB^2

Passo 4

Calculamos as derivadas de A e B:
A' = 1 + 3y', B' = 3 + y'
Logo o numerador de y'' é
A,B' - A',B = (x+3y)(3+y') - (1+3y')(3x+y)
Expandindo e simplificando, obtemos
A,B' - A',B = 8,l(y - x,y'r)
Então
y'' = 8,(y - x,y')(3x+y)^2

Passo 5

Substituindo y' = -tfracx+3y3x+y na expressão y - x,y', temos
y - x,y' = y + xx+3y3x+y = y(3x+y) + x(x+3y)3x+y = x^2 + 6xy + y^23x+y = 83x+y,
pois x^2+6xy+y^2=8. Portanto
y'' = 8cdot83x+y(3x+y)^2 = 64(3x+y)^3

Resposta

y''(x) = 64l(3x + y(x)r)^3

Exercícios de Livros Relacionados