Usando a regra da cadeia, determine y^prime, sendo:
y=(x^-2+3 x^-4+7 x^-5)^-8(x^2+x^-2)^-4(x^-1)

Passo 1

O enunciado pede y' para
y=l(x^-2+3x^-4+7x^-5r)^-8l(x^2+x^-2r)^-4,(x^-1)
O conteúdo que vamos usar inclui regra do quociente, regra do produto e regra da cadeia para potências compostas.

Passo 2

Para simplificar a derivação, vou reescrever y como produto. Defino
u(x)=x^-2+3x^-4+7x^-5, v(x)=x^2+x^-2
Então
y=u^-8v^-4,x^-1 = u^-8cdot v^4cdot x = x,v^4,u^-8

Passo 3

Agora calculo as derivadas de u e v usando regra da potência:
u'(x)=ddxl(x^-2r)+3ddxl(x^-4r)+7ddxl(x^-5r) =-2x^-3-12x^-5-35x^-6,
v'(x)=ddxl(x^2r)+ddxl(x^-2r) =2x-2x^-3

Passo 4

Aplico a regra do produto em
y = xcdot v^4cdot u^-8
Temos três fatores, então
y' = (x)',v^4,u^-8 + x,(v^4)',u^-8 + x,v^4,(u^-8)'
Em cada termo uso regra da potência composta (cadeia):
(x)'=1, (v^4)'=4,v^3,v', (u^-8)'=-8,u^-9,u'

Passo 5

Substituindo tudo em y':
y' = 1cdot v^4,u^-8 + xcdotl(4,v^3,v'r),u^-8 + x,v^4,l(-8,u^-9,u'r)
Agora insiro u' e v':
y' = v^4,u^-8 +4x,v^3,l(2x-2x^-3r),u^-8 -8x,v^4,l(-2x^-3-12x^-5-35x^-6r),u^-9
Podemos deixar esse resultado ou, se preferir, reescrever em função de x, u e v.
Esse é o valor de y'.

Resposta

y' = v^4u^-8 +4x,v^3l(2x-2x^-3r),u^-8 -8x,v^4l(-2x^-3-12x^-5-35x^-6r),u^-9,
onde u=x^-2+3x^-4+7x^-5 e v=x^2+x^-2.

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