Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de abscissas dadas:
Passo 1
No enunciado, temos a curva
e queremos as equações das retas tangente e normal no ponto onde
. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas para achar a inclinação da tangente e depois as fórmulas das retas.
Passo 2
Primeiro, encontramos o ponto sobre a curva. Como
temos
Logo, o ponto é
.
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada
. Como
e
, vale
Passo 4
Avalia-se a derivada em
para obter a inclinação da tangente:
Passo 5
A equação da reta tangente usa o ponto-pendente:
ou seja
que pode ser escrita como
Passo 6
A inclinação da reta normal é o negativo do inverso de
, isto é
Logo a reta normal satisfaz
que em forma explícita fica
Resposta
Reta tangente:
.
Reta normal: .
Reta normal: