Determine as equações das retas tangentes e das retas normais às curvas, nos pontos de abscissas dadas:
y=e^-1x, x=-1

Passo 1

No enunciado, temos a curva y = e^-1/x e queremos as equações das retas tangente e normal no ponto onde x = -1. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas para achar a inclinação da tangente e depois as fórmulas das retas.

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto sobre a curva. Como x0 = -1 temos
y0 = e^-1/(-1) = e^1 = e
Logo, o ponto é (-1,e).

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada y'. Como y = e^-1/x e ddx(-1/x) = 1/x^2, vale
y' = e^-1/xcdot1x^2

Passo 4

Avalia-se a derivada em x0 = -1 para obter a inclinação da tangente:
mt = y'(-1) = 1(-1)^2,e^-1/(-1) = e

Passo 5

A equação da reta tangente usa o ponto-pendente:
y - y0 = mt,(x - x0)
ou seja
y - e = e,(x + 1),
que pode ser escrita como
y = e,x + 2e

Passo 6

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso de mt, isto é
mn = -1e
Logo a reta normal satisfaz
y - e = -1e,(x + 1),
que em forma explícita fica
y = -1e,x + e^2 - 1e

Resposta

Reta tangente: y - e = e,(x + 1).
Reta normal: y - e = -tfrac1e,(x + 1).

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