Calcule os seguintes limites:
lim x 3+ ln (x-2)(x-3)^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto3^+ln(x-2)(x-3)^2
ou seja, queremos entender como se comporta a função quando x se aproxima de 3 pela direita. Para isso, vamos usar uma mudança de variável que deixe mais claro o tamanho dos termos pequenos envolvidos.

Passo 2

Fazemos a substituição
h = x-3,
de modo que xto3^+ equivale a hto0^+. Então
x-2 = (3+h)-2 = 1+h e (x-3)^2 = h^2
O limite vira
limhto0^+ln(1+h)h^2

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor para ln(1+h) perto de h=0:
ln(1+h) = h - h^22 + o(h^2)
Substituindo em cima,
ln(1+h)h^2 = h - tfrach^22 + o(h^2)h^2 = hh^2 - tfrach^22h^2 + o(h^2)h^2 = 1h - 12 + o(1)

Passo 4

Quando hto0^+, o termo tfrac1h domina e tende a +infty. Os outros termos ficam limitados. Logo todo o quociente vai para mais infinito.

Resposta

+infty

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