Calcule os seguintes limites:
lim x 1 x^10-1x^9-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1x^10-1x^9-1.
Isso é um caso de forma indeterminada tfrac00 ao substituir x=1, e vamos usar a fatoração de diferença de potências para resolver.

Passo 2

Quando temos uma expressão da forma x^n-1, existe a identidade de soma geométrica
x^n-1 = (x-1)l(x^n-1+x^n-2+cdots+x+1r)
Isso permite fatorar tanto o numerador quanto o denominador e cancelar o fator comum x-1.

Passo 3

Aplicando a fatoração:
x^10-1 = (x-1)sumk=0^9x^k, x^9-1 = (x-1)sumk=0^8x^k
Logo,
x^10-1x^9-1 = (x-1)sumk=0^9x^k(x-1)sumk=0^8x^k = sumk=0^9x^ksumk=0^8x^k

Passo 4

Agora basta avaliar em x=1:
sumk=0^91^k = 10, sumk=0^81^k = 9
Portanto,
limxto1x^10-1x^9-1 = 109

Resposta

109

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