Calcule os seguintes limites:
lim x 2 3 raiz[3]x-1-x-13(x-2)^2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto23raiz[3]x-1-x-13(x-2)^2
O conteúdo é desenvolvimento em série (ou expansão de Taylor) da função f(u)=raiz[3]u em torno de u=1, plus manipulação algébrica.

Passo 2

Definimos a mudança de variável h = x-2. Assim,
x = 2 + h, x-1 = 1 + h, e h to 0 quando xto2
O denominador fica 3(x-2)^2 = 3h^2.

Passo 3

Expandimos a raiz cúbica de 1+h por binômio de Newton até termos de ordem h^2:
raiz[3]1+h = (1+h)^1/3 = 1 + tfrac13,h - tfrac19,h^2 + O(h^3)
Multiplicando por 3,
3raiz[3]x-1 = 3l(1 + tfrac13 h - tfrac19h^2 + O(h^3)r) = 3 + h - tfrac13h^2 + O(h^3)

Passo 4

Substituímos na parte de cima do limite:
3raiz[3]x-1-x-1 = l(3 + h - tfrac13h^2 + O(h^3)r) - l((2+h)+1r) = -tfrac13h^2 + O(h^3)

Passo 5

Agora dividimos pelo denominador 3h^2:
3raiz[3]x-1-x-13(x-2)^2 = -tfrac13h^2 + O(h^3)3h^2 = -19 + O(h)
e, fazendo hto0, obtemos o limite.

Resposta

-,tfrac19

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