Calcule os seguintes limites:
lim x 0 2 cos x-2+x^23 x^4.

Passo 1

O enunciado pede
limx to 0 2cos x - 2 + x^23x^4
Este tipo de limite, em que temos uma forma “0/0” com funções trigonométricas, é bem tratado usando a expansão em série de Taylor de cos x em torno de x=0.

Passo 2

A série de Taylor de cos x até a ordem x^4 é
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)

Passo 3

Substituindo na expressão do numerador:
2cos x - 2 + x^2 = 2l(1 - tfracx^22 + tfracx^424 + O(x^6)r) - 2 + x^2
Distribuindo e organizando termos:
2 - x^2 + x^412 + O(x^6) ;-; 2 + x^2 = x^412 + O(x^6)
Observe que os termos em x^0 e x^2 se cancelam.

Passo 4

Agora a expressão do limite fica
x^412 + O(x^6)3x^4 = 112,x^43x^4 + O(x^6)3x^4 = 136 + O(x^2)
Ao fazer xto0, o termo de ordem superior O(x^2) vai a zero, restando
tfrac136.

Resposta

136

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