Calcule os seguintes limites:
lim x infty e^3 / x-1sen 1 / x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftye^3/x-1sin(1/x)
Perceba que, quando xtoinfty, temos 3/xto0 e sin(1/x)to0, ou seja, a forma é 0/0. Vamos usar a substituição de variável ou a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Faça a mudança de variável
t = 1x,
então xtoinfty equivale a tto0^+. A expressão fica
e^3/x-1sin(1/x) = e^3t-1sin t

Passo 3

Agora, como limtto0l(e^3t-1r)=0 e limtto0sin t=0, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limtto0e^3t-1sin t =limtto0ddtl(e^3t-1r)ddt(sin t) =limtto03e^3tcos t =3cdot e^0cos0 =3

Resposta

3

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