Calcule os seguintes limites:
lim x 0 sen x^2-sen^2 xx^4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0sen(x^2)-sen^2(x)x^4
Para isso, vamos usar séries de Taylor em torno de 0 para aproximar sen(x^2) e sen(x) até termos de ordem x^4 no numerador.

Passo 2

Expandimos sen(x^2). Seja u=x^2. Sabemos que
sen u = u - u^36 + O(u^5)(uto0)
Logo, com u=x^2,
sen(x^2) = x^2 - (x^2)^36 + O(x^10) = x^2 - x^66 + O(x^10)

Passo 3

Agora expandimos sen(x) até termos que, ao quadrar, gerem ordem x^4.
sen x = x - x^36 + O(x^5),
então
sen^2x = l(x - x^36 + O(x^5)r)^2 = x^2 - 2xcdot x^36 + O(x^6) = x^2 - x^43 + O(x^6)

Passo 4

Subtraímos as expansões:
sen(x^2) - sen^2(x) = l(x^2 - x^66 + O(x^10)r) - l(x^2 - x^43 + O(x^6)r) = x^43 + O(x^6)

Passo 5

Dividindo por x^4 e tomando o limite:
sen(x^2) - sen^2(x)x^4 = x^43 + O(x^6)x^4 = 13 + O(x^2) longrightarrow13

Resposta

13

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