Calcule os seguintes limites:
lim x 0+ arcsen xsen^2 3 x.

Passo 1

O enunciado pede
L = limxto0+ arcsin xsin^2(3x)
Aqui o conteúdo é cálculo de limites do tipo 0/0 usando equivalências de funções para x pequeno (ou, alternativamente, a regra de l’Hôpital).

Passo 2

Verificamos que, quando xto0,
arcsin xto0 e sin^2(3x)to0,
logo temos indeterminação 0/0.
Usamos as equivalências conhecidas para xto0:
arcsin x sim x, sin(3x)sim 3x

Passo 3

Da segunda equivalência segue
sin^2(3x)sim (3x)^2 = 9x^2
Substituindo na razão original, para x muito pequeno,
arcsin xsin^2(3x) sim x9x^2 = 19x

Passo 4

Como xto0+, tfrac19xto+infty. Portanto
L = +infty

Resposta

+infty

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