Calcule a soma de cada uma das seguintes séries
sen theta2+sen^2 theta4+sen^3 theta8+cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
sintheta2+sin^2theta4+sin^3theta8+cdots
que podemos reconhecer como uma série geométrica. Para resolvê-la, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita com termo inicial a e razão r, desde que lvert rrvert<1:
S = a1-r

Passo 2

Identificamos o primeiro termo a e a razão r. Observe que
sintheta2+sin^2theta4+cdots = sumn=1^inftysin^ntheta2^n = sintheta2l(1+sintheta2+l(sintheta2r)^2+cdotsr)
Logo,
a = sintheta2, r = sintheta2

Passo 3

Verificamos a condição de convergência lvert rrvert<1. Como lvertsinthetarvert<=1, temos
llvert tfracsintheta2rrvert <= tfrac12 <1,
logo a série converge.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da soma:
S = a1-r = sintheta21 - sintheta2 = sintheta2 - sintheta

Resposta

sintheta2 - sintheta

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