Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=x e^{x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x e^{x+2y}.
Aqui vamos usar a regra do produto (para diferenciar x vezes e^{x+2y}) e a regra da cadeia (para diferenciar e^{x+2y}).

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto em x\cdot e^{x+2y}:
  1. Derivada de x em relação a x é 1, multiplicada por e^{x+2y}.
  2. Mais x vezes a derivada de e^{x+2y} em relação a x, que é e^{x+2y} vezes a derivada do expoente (x+2y), que vale 1.
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x} =1\cdot e^{x+2y} + x\cdot\bigl(e^{x+2y}\cdot1\bigr) =e^{x+2y} + x\,e^{x+2y} =(1+x)\,e^{x+2y}.

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e aplicamos a regra da cadeia em e^{x+2y}:
\frac{\partial f}{\partial y} =x\cdot\frac{d}{dy}\bigl(e^{x+2y}\bigr) =x\cdot e^{x+2y}\cdot\frac{d}{dy}(x+2y) =x\cdot e^{x+2y}\cdot2 =2x\,e^{x+2y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = (1+x)\,e^{x+2y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x\,e^{x+2y}.

Exercícios de Livros Relacionados