Os candidatos A, B e C concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os entrevistados que estão dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no candidato A , 70 votariam apenas em B, e 100 votariam apenas no candidato C . Além disso, 190 disseram que não votariam em A, 110 disseram que não votariam em C e 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em A como em C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato.
a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou em C, mas não votariam em A?
b) Dentre os sócios consultados que pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B?
c) Quantos sócios participaram da pesquisa?

Passo 1

Resumindo, dos N sócios entrevistados:
  • 150 não vão votar; portanto os que vão votar são lvert Vrvert =N-150.
  • Dentre os que vão votar ( V):
    • 40 votam apenas em A.
    • 70 votam apenas em B.
    • 100 votam apenas em C.
    • 10 estão na dúvida entre A e C (mas não em B).
    • 10 podem votar em qualquer um dos três ( Acap Bcap C ).
    • 190 não votariam em A Rightarrow lvert Arvert =lvert Vrvert -190.
    • 110 não votariam em C Rightarrow lvert Crvert =lvert Vrvert -110.

Passo 2

Vamos escrever lvert Arvert e lvert Crvert em função das regiões de Venn:
lvert Arvert = underbrace40só A + underbracexAcap B só + underbrace10Acap C só + underbrace10Acap Bcap C ;=;60 + x óóó
lvert Crvert = underbrace100só C + underbrace10Acap C só + underbraceyBcap C só + underbrace10Acap Bcap C ;=;120 + y óóó
onde x=lvert Acap B sórvertó e y=lvert Bcap C sórvertó.

Passo 3

Pelas complementares dadas:
60 + x = lvert Arvert = lvert Vrvert -190, 120 + y = lvert Crvert = lvert Vrvert -110
Logo
x = lvert Vrvert -250, y = lvert Vrvert -230

Passo 4

A soma de todas as 7 regiões de Venn em V é lvert Vrvert, ou seja
40 + 70 + 100 ;+; x ;+; 10 ;+; y ;+; 10 ;=;lvert Vrvert
Substituindo x e y:
230 + (lvert Vrvert -250) + (lvert Vrvert -230) = lvert Vrvert ;Longrightarrow; 2lvert Vrvert -250 = lvert Vrvert ;Longrightarrow;lvert Vrvert =250

Passo 5

Com lvert Vrvert=250 vem
x =250-250=0, y =250-230=20
Logo não há quem vote só em A e B, e 20 estão na dúvida entre B e C.

Passo 6

(a) O número que está em dúvida entre B ou C (mas não vota em A) é
boxed20

Passo 7

(b) Dos 250 que vão votar, aqueles que NÃO votam em B têm tamanho
lvert Vrvert - lvert Brvert, lvert Brvert =70 + x + y +10 =70+0+20+10=100,
logo
250 -100 =150

Passo 8

(c) O total de sócios entrevistados é
N = lvert Vrvert +150 =250 +150 =400

Resposta

a) 20
b) 150
c) 400

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