Em um dos casos abaixo, coloque a figura numa posição conveniente em relação ao sistema de coordenadas e prove as afirmações algebricamente:
(a) As diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.
(b) A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos lados.
(c) O ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é eqüidistante dos três vértices.
Utilize o fato estabelecido em (c) para mostrar que, quando os ângulos agudos de um triângulo retângulo são de e , o lado oposto ao ângulo de é a metade da hipotenusa.
Passo 1
Vamos usar geometria analítica.
Para (a) e (b) colocamos o paralelogramo num sistema de coordenadas de modo que
então
Para (c) colocamos o triângulo retângulo com vértice reto em como
e será o ponto médio de .
Passo 2
(a) As diagonais são e . Parametrizando:
Para o ponto de interseção igualamos coordenadas:
Logo as retas se cruzam em
que é o ponto médio de cada diagonal. Portanto as diagonais se cortam ao meio.
Passo 3
(b) Primeiro calculamos as normas ao quadrado dos vetores:
Agora suponha que ang<= ABC=30^circ e, então, ang<= ACB=60^circ. Pelo item (c), M é o centro do círculo que passa por A,B,C, com raio
R=MB=MC=BC2
O arco ,widehatAC visto por B tem medida duas vezes ang<= ABC, ou seja 2cdot30^circ=60^circ. Logo, no triângulo isósceles AMC com lados iguais a R e ângulo no vértice ang<= AMC=60^circ, a base AC vale
AC =2Rsinl(tfracang<= AMC2r) =2Rsin(30^circ) =2Rcdottfrac12 =R
Como R=BC/2, concluímos
AC=BC2
Isto mostra que, no triângulo retângulo com ângulo agudo de 30^circ, o lado oposto a esse ângulo (AC) vale metade da hipotenusa BC.
Resposta
(a) As diagonais se cortam ao meio.
(b) AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.
(c) O ponto médio da hipotenusa é equidistante de A,B,C.
(d) No triângulo retângulo 30^circ! - !60^circ! - !90^circ, o lado oposto a 30^circ é a metade da hipotenusa.
Cálculo - Simmons - Cálculo com Geometria Analitica - Vol 1 - 1ª Edição - Capítulo 1.1.3 - Ex. 10