Em um dos casos abaixo, coloque a figura numa posição conveniente em relação ao sistema de coordenadas e prove as afirmações algebricamente:
(a) As diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.
(b) A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos lados.
(c) O ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é eqüidistante dos três vértices.
Utilize o fato estabelecido em (c) para mostrar que, quando os ângulos agudos de um triângulo retângulo são de 30^circ e 60^circ, o lado oposto ao ângulo de 30^circ é a metade da hipotenusa.

Passo 1

Vamos usar geometria analítica.
Para (a) e (b) colocamos o paralelogramo num sistema de coordenadas de modo que
A=(0,0), B=(a,0), D=(b,c),
então
C=B+D=(a+b,c)
Para (c) colocamos o triângulo retângulo com vértice reto em A como
A=(0,0), B=(p,0), C=(0,q),
e M será o ponto médio de BC.

Passo 2

(a) As diagonais são AC e BD. Parametrizando:
AC: A+t(C-A)=(t(a+b),,t,c), tin[0,1],
BD: B+s(D-B)=l(a+s(b-a),,s,cr), sin[0,1]
Para o ponto de interseção igualamos coordenadas:
t,c=s,cimplies t=s,
t(a+b)=a+s(b-a)implies t(a+b)=a+t(b-a)implies2ta=aimplies t=tfrac12
Logo as retas se cruzam em
l(tfraca+b2,;tfrac c2r),
que é o ponto médio de cada diagonal. Portanto as diagonais se cortam ao meio.

Passo 3

(b) Primeiro calculamos as normas ao quadrado dos vetores:
AC=(a+b,,c)implies AC^2=(a+b)^2+c^2=a^2+2ab+b^2+c^2,
BD=(b-a,,c)implies BD^2=(b-a)^2+c^2=a^2-2ab+b^2+c^2
Somando,
AC^2+BD^2=2(a^2+b^2+c^2)
Por outro lado, os quatro lados têm comprimentos
AB^2=a^2, BC^2=b^2+c^2, CD^2=a^2, DA^2=b^2+c^2,
e
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 =2l(a^2+(b^2+c^2)r) =2(a^2+b^2+c^2)
Concluímos
AC^2+BD^2 =AB^2+BC^2+CD^2+DA^2

Passo 4

(c) No triângulo com vértice reto em A, tomamos
B=(p,0), C=(0,q), M ponto médio de BC é
Então
M=l(tfracp+02,;tfrac0+q2r) =l(tfrac p2,;tfrac q2r)
Calculamos as distâncias ao quadrado:
MA^2=l(tfrac p2r)^2+l(tfrac q2r)^2 =p^2+q^24,
MB^2=l(tfrac p2-pr)^2+l(tfrac q2-0r)^2 =p^24+q^24 =p^2+q^24,
MC^2=l(tfrac p2-0r)^2+l(tfrac q2-qr)^2 =p^2+q^24
Como MA^2=MB^2=MC^2, segue que
MA=MB=MC,
logo M é equidistante de A,B,C.

Passo 5

Agora suponha que ang<= ABC=30^circ e, então, ang<= ACB=60^circ. Pelo item (c), M é o centro do círculo que passa por A,B,C, com raio
R=MB=MC=BC2
O arco ,widehatAC visto por B tem medida duas vezes ang<= ABC, ou seja 2cdot30^circ=60^circ. Logo, no triângulo isósceles AMC com lados iguais a R e ângulo no vértice ang<= AMC=60^circ, a base AC vale
AC =2Rsinl(tfracang<= AMC2r) =2Rsin(30^circ) =2Rcdottfrac12 =R
Como R=BC/2, concluímos
AC=BC2
Isto mostra que, no triângulo retângulo com ângulo agudo de 30^circ, o lado oposto a esse ângulo ( AC) vale metade da hipotenusa BC.

Resposta

(a) As diagonais se cortam ao meio.
(b) AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.
(c) O ponto médio da hipotenusa é equidistante de A,B,C.
(d) No triângulo retângulo 30^circ! - !60^circ! - !90^circ, o lado oposto a 30^circ é a metade da hipotenusa.

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