CEFETEQ - Na composição em fatores primos de certo número natural N , encontramos o seguinte resultado: N=2^x times 3^y times 5^z. Sabendo que N possui 105 divisores, calcule o MDC entre x, y e z.

Passo 1

O enunciado diz que um número natural N tem fatoração
N = 2^x times 3^y times 5^z
e possui 105 divisores. Queremos calcular gcd(x,y,z). Vamos usar a fórmula do número de divisores e propriedades de fatoração de inteiros.

Passo 2

Pela fórmula do número de divisores de um número com fatoração em primos, temos
d(N) = (x+1),(y+1),(z+1);=;105

Passo 3

Como na fatoração aparecem os três primos 2,3,5, os expoentes satisfazem x>=1, y>=1, z>=1. Logo cada fator (x+1),(y+1),(z+1) é pelo menos 2. A única maneira de escrever
105 = 3 times 5 times 7
com três fatores todos >=2 é usar exatamente 3,5,7 (até permutação).

Passo 4

Portanto podemos atribuir
(x+1,y+1,z+1) = (3,5,7)
em alguma ordem. Subtraindo 1 de cada componente, obtém-se
(x,y,z) = (2,4,6)
até permutação.

Passo 5

Finalmente, calculamos o máximo divisor comum:
gcd(2,4,6) = 2

Resposta

2

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