CEFETEQ - Na composição em fatores primos de certo número natural N , encontramos o seguinte resultado:
. Sabendo que N possui 105 divisores, calcule o MDC entre
e
.
Passo 1
O enunciado diz que um número natural
tem fatoração
e possui 105 divisores. Queremos calcular
. Vamos usar a fórmula do número de divisores e propriedades de fatoração de inteiros.
Passo 2
Pela fórmula do número de divisores de um número com fatoração em primos, temos
Passo 3
Como na fatoração aparecem os três primos
, os expoentes satisfazem
,
,
. Logo cada fator
é pelo menos 2. A única maneira de escrever
com três fatores todos
é usar exatamente
(até permutação).
Passo 4
Portanto podemos atribuir
em alguma ordem. Subtraindo 1 de cada componente, obtém-se
até permutação.
Passo 5
Finalmente, calculamos o máximo divisor comum: