A cidade de Cascatinha tinha 15.000 habitantes em 2006, tendo passado a 18.500 habitantes em 2011.
a) Supondo que a população da cidade tenha crescido de forma constante nesse período, exiba a população de Cascatinha em um gráfico no qual o eixo horizontal forneça o número de anos transcorridos desde o ano 2000.
b) Determine a equação da reta que passa pelos pontos dados.
c) Indique o que significam a inclinação da reta e seu ponto de interseção com o eixo-y.
d) Com base em sua equação, estime a população de Cascatinha em 2020.

Passo 1

O enunciado fornece dois pontos de uma população que cresce de modo constante: em 2006 havia 15,000 habitantes e em 2011 havia 18,500. Como o eixo horizontal mede o número de anos desde 2000, vamos trabalhar com os pontos
(6,,15000) e (11,,18500)
O assunto é função afim (reta): determinar seu gráfico, a equação, interpretar coeficientes e fazer previsão.

Passo 2

Para desenhar o gráfico, siga estes passos:
  1. No eixo x, marque anos desde 2000; por exemplo, x=6 corresponde a 2006 e x=11 a 2011.
  2. No eixo y, marque a população em número de habitantes.
  3. Marque o ponto (6,15000) e o ponto (11,18500).
  4. Trace a reta que liga esses pontos — ela representa o crescimento linear da população entre 2006 e 2011.

Passo 3

Vamos achar a equação da reta no formato
y = m x + b
A inclinação m é
m = 18500 - 1500011 - 6 = 35005 = 700
Para obter b, use um dos pontos, digamos (6,15000):
15000 = 700cdot6 + b Longrightarrow b = 15000 - 4200 = 10800
Logo, a equação é
y = 700,x + 10800

Passo 4

Interpretação dos coeficientes:
  • A inclinação m=700 significa que a população cresce em média 700 habitantes por ano.
  • O intercepto b=10800 é o valor de y quando x=0, ou seja, a população estimada em 2000 era de 10800 habitantes.

Passo 5

Para estimar a população em 2020, note que x=20. Substituindo na equação:
y(20) = 700cdot20 + 10800 = 14000 + 10800 = 24800
Portanto, a previsão é de 24800 habitantes em 2020.

Resposta

a) Gráfico da reta que passa por (6,15000) e (11,18500), com eixo x em anos desde 2000 e eixo y em número de habitantes.
b) y = 700,x + 10800
c) A inclinação 700 indica um acréscimo de 700 habitantes por ano; o intercepto 10800 é a população estimada em 2000.
d) Estima-se 24800 habitantes em 2020.

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