Classifique os conjuntos abaixo como finitos ou infinitos:
o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2
o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2
Passo 1
O enunciado pede para classificar como finito ou infinito o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2. Isso envolve o conceito de cardinalidade de conjuntos, em particular reconhecer se existem infinitos elementos distintos nesse intervalo.
Passo 2
Para mostrar que há infinitas frações entre 1 e 2, basta exibir uma sequência infinita de frações distintas todas no intervalo
. Por exemplo, para cada inteiro
considere
Note que
logo
para todo
. Além disso, se
então
, pois
contradição.
Passo 3
Como conseguimos construir uma sequência infinita
de frações distintas em
, concluímos que o conjunto dado é infinito.
Resposta
O conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2 é infinito.