Classifique os conjuntos abaixo como finitos ou infinitos:
o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2

Passo 1

O enunciado pede para classificar como finito ou infinito o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2. Isso envolve o conceito de cardinalidade de conjuntos, em particular reconhecer se existem infinitos elementos distintos nesse intervalo.

Passo 2

Para mostrar que há infinitas frações entre 1 e 2, basta exibir uma sequência infinita de frações distintas todas no intervalo (1,2). Por exemplo, para cada inteiro n>=2 considere
an = n+1n
Note que
an = 1 + 1n,
logo 1 < an < 2 para todo n>=2. Além disso, se mneq n então am neq an, pois
m+1m = n+1n Longrightarrow m(n+1) = n(m+1) Longrightarrow m = n,
contradição.

Passo 3

Como conseguimos construir uma sequência infinita ann=2^infty de frações distintas em (1,2), concluímos que o conjunto dado é infinito.

Resposta

O conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2 é infinito.

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