Classifique os conjuntos abaixo como finitos ou infinitos:
o conjunto das raízes da equação
o conjunto das raízes da equação
Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto das raízes da equação
como finito ou infinito. Para isso vamos usar que um polinômio de grau
não-nulo tem no máximo
raízes (Teorema Fundamental da Álgebra).
Passo 2
Fatoramos o polinômio extraindo
como fator comum:
Logo a equação original é equivalente ao sistema
Passo 3
Da parte
obtemos apenas a raiz
(multiplicidade 2, mas um único valor em termos de conjunto).
Da parte temos um polinômio de grau 4, que admite exatamente 4 raízes no campo dos complexos (contando multiplicidades) e no máximo 4 raízes reais.
Da parte
Passo 4
Em termos de conjunto de soluções reais há no máximo
raiz (o zero) mais até
raízes da quartica, totalizando no máximo
raízes distintas. De qualquer forma, o número é limitado.
Resposta
O conjunto das raízes da equação
é finito.