Classifique os conjuntos abaixo como finitos ou infinitos:
o conjunto das raízes da equação x^6+x^5-x^2=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto das raízes da equação x^6 + x^5 - x^2 = 0 como finito ou infinito. Para isso vamos usar que um polinômio de grau n não-nulo tem no máximo n raízes (Teorema Fundamental da Álgebra).

Passo 2

Fatoramos o polinômio extraindo x^2 como fator comum:
x^6 + x^5 - x^2 = x^2l(x^4 + x^3 - 1r)
Logo a equação original é equivalente ao sistema
x^2 = 0 ou x^4 + x^3 - 1 = 0

Passo 3

Da parte x^2=0 obtemos apenas a raiz x=0 (multiplicidade 2, mas um único valor em termos de conjunto).
Da parte x^4 + x^3 - 1 = 0 temos um polinômio de grau 4, que admite exatamente 4 raízes no campo dos complexos (contando multiplicidades) e no máximo 4 raízes reais.

Passo 4

Em termos de conjunto de soluções reais há no máximo 1 raiz (o zero) mais até 4 raízes da quartica, totalizando no máximo 5 raízes distintas. De qualquer forma, o número é limitado.

Resposta

O conjunto das raízes da equação x^6 + x^5 - x^2 = 0 é finito.

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