Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto.
b) Dois planos distintos que têm uma reta comum são secantes.
c) Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes.
d) Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes.
e) Dois planos secantes têm interseção vazia.
f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
g) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
h) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum.
a) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto.
b) Dois planos distintos que têm uma reta comum são secantes.
c) Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes.
d) Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes.
e) Dois planos secantes têm interseção vazia.
f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
g) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
h) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) oito afirmações sobre a interseção de dois planos no espaço. O conteúdo principal é a geometria analítica: dois planos em
ou são paralelos (sem interseção ou coincidentes) ou secantes (interseção é uma reta), ou coincidentes (interseção é todo o plano).
Passo 2
Recordando as possibilidades de interseção de dois planos
e
:
- Se são paralelos distintos,
. - Se são coincidentes,
(ou seja, um plano inteiro). - Caso contrário (não paralelos), são secantes e
é uma reta.
Passo 3
a) “Se dois planos distintos têm um ponto comum, então têm uma reta comum que passa por esse ponto.”
Dois planos distintos que não são paralelos devem intersectar em uma reta. Portanto é V.
Dois planos distintos que não são paralelos devem intersectar em uma reta. Portanto é V.
Passo 4
b) “Dois planos distintos que têm uma reta comum são secantes.”
Por definição, “secantes” são planos cuja interseção é exatamente uma reta. Logo é V.
Por definição, “secantes” são planos cuja interseção é exatamente uma reta. Logo é V.
Passo 5
c) “Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes.”
Se os dois planos coincidirem, eles compartilham infinitas retas, mas não são secantes (são coincidentes). Como a afirmação não exige que sejam distintos, é F.
Se os dois planos coincidirem, eles compartilham infinitas retas, mas não são secantes (são coincidentes). Como a afirmação não exige que sejam distintos, é F.
Passo 6
d) “Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes.”
Ter exatamente uma reta de interseção significa, por definição, serem secantes. Logo é V.
Ter exatamente uma reta de interseção significa, por definição, serem secantes. Logo é V.
Passo 7
e) “Dois planos secantes têm interseção vazia.”
Planos secantes intersectam numa reta, não vazia. É F.
Planos secantes intersectam numa reta, não vazia. É F.
Passo 8
f) “Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.”
A reta de interseção tem infinitos pontos, logo V.
A reta de interseção tem infinitos pontos, logo V.
Passo 9
g) (repetição de f) “Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.”
Mesma análise de (f), logo V.
Mesma análise de (f), logo V.
Passo 10
h) “Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum.”
Se compartilham um ponto, não podem ser paralelos, então a interseção é reta (ou se coincidem, há infinitas retas no plano). Em todo caso existe ao menos uma reta comum, logo V.
Se compartilham um ponto, não podem ser paralelos, então a interseção é reta (ou se coincidem, há infinitas retas no plano). Em todo caso existe ao menos uma reta comum, logo V.
Resposta
a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V