Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Os planos bissetores de dois diedros adjacentes suplementares são perpendiculares.
b) Os planos bissetores de dois diedros opostos pela aresta estão num mesmo plano.
c) Se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face.
d) Se os planos bissetores de dois diedros adjacentes formam um ângulo de
, então a soma das medidas dos dois diedros vale
.
e) Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então será perpendicular às faces do diedro.
a) Os planos bissetores de dois diedros adjacentes suplementares são perpendiculares.
b) Os planos bissetores de dois diedros opostos pela aresta estão num mesmo plano.
c) Se um plano é perpendicular a uma das faces de um diedro, então será obrigatoriamente perpendicular à outra face.
d) Se os planos bissetores de dois diedros adjacentes formam um ângulo de
e) Se um plano é perpendicular à aresta de um diedro, então será perpendicular às faces do diedro.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) cinco afirmações sobre diedros, seus planos bissetores e relações de perpendicularidade. Vamos usar os seguintes conceitos:
- Diedro: união de duas semiplanos (faces) que se interceptam numa aresta.
- Plano bissetor de um diedro: plano que contém a aresta e divide o ângulo diedro em duas partes iguais.
- Um plano é perpendicular a outro se contém uma reta perpendicular a esse outro plano; um plano é perpendicular a uma reta se é perpendicular a toda reta nesse plano que passe pelo ponto de interseção.
Passo 2
(a) Dois diedros adjacentes suplementares têm medidas
e
com
. Num corte perpendicular à aresta, as bissetoras fazem ângulo
logo são perpendiculares. Portanto (a) é V.
Passo 3
(b) Dois diedros opostos pela aresta têm faces alternadas, mas seus planos bissetores coincidem: o bissetor interno de um é o externo do outro. Assim ambos os planos de fato estão no mesmo plano, logo (b) é V.
Passo 4
(c) Um plano perpendicular a uma face contém uma reta perpendicular a essa face, mas isso não obriga o plano a ser perpendicular à outra face, pois nada garante que a reta perpendicular pertença também a essa segunda face. Logo (c) é F.
Passo 5
(d) Para diedros adjacentes de medidas
e
, o ângulo entre bissetores vale
. Se esse ângulo é
, então
, não
. Logo (d) é F.
Passo 6
(e) Se um plano é perpendicular à aresta do diedro (reta de interseção das faces), então, por conter uma reta perpendicular a cada face, ele é perpendicular a ambas as faces (teorema do plano perpendicular a reta contida em outro plano). Logo (e) é V.
Resposta
a) V
b) V
c) F
d) F
e) V
b) V
c) F
d) F
e) V