CMRJ - Daniel estava lendo um livro e ao olhar o número da página (300) veio em sua mente o seguinte questionamento: “De 1 até 300, quantos números inteiros têm a soma de seus algarismos igual a 10”? A resposta ao questionamento de Daniel é:
a) 15 números
b) 16 números
c) 26 números
d) 28 números
e) 30 números
a) 15 números
b) 16 números
c) 26 números
d) 28 números
e) 30 números
Passo 1
O enunciado pede: “De 1 até 300, quantos inteiros têm a soma dos seus algarismos igual a 10?”
O conteúdo aqui é contagem combinatória por casos, separando números de 2 e 3 dígitos e usando a soma dos algarismos como restrição.
O conteúdo aqui é contagem combinatória por casos, separando números de 2 e 3 dígitos e usando a soma dos algarismos como restrição.
Passo 2
Números de dois dígitos (10 a 99). Seja
o dígito das dezenas e
o das unidades. Eles devem satisfazer
com
e
. Para cada escolha de
existe exatamente um
válido.
Número de soluções: .
Número de soluções:
Passo 3
Números de três dígitos de 100 a 299. Escrevemos o número como
.
- Se
, então
com
. Há uma solução para cada
, totalizando
soluções.
- Se
, então
com
. Aqui
pode ser
, gerando
soluções.
Passo 4
Não há outros casos relevantes:
-
corresponde aos números de dois dígitos já contados. -
gera números ; o único caso tem soma , não conta.
Passo 5
Somando todas as soluções:
Logo existem
números de 1 até 300 cuja soma de algarismos é 10.
Resposta
(d) 28 números