CMRJ - Daniel estava lendo um livro e ao olhar o número da página (300) veio em sua mente o seguinte questionamento: “De 1 até 300, quantos números inteiros têm a soma de seus algarismos igual a 10”? A resposta ao questionamento de Daniel é:
a) 15 números
b) 16 números
c) 26 números
d) 28 números
e) 30 números

Passo 1

O enunciado pede: “De 1 até 300, quantos inteiros têm a soma dos seus algarismos igual a 10?”
O conteúdo aqui é contagem combinatória por casos, separando números de 2 e 3 dígitos e usando a soma dos algarismos como restrição.

Passo 2

Números de dois dígitos (10 a 99). Seja b o dígito das dezenas e c o das unidades. Eles devem satisfazer
b + c = 10
com bin1,dots,9 e cin0,dots,9. Para cada escolha de b=1,2,dots,9 existe exatamente um c=10-b válido.
Número de soluções: 9.

Passo 3

Números de três dígitos de 100 a 299. Escrevemos o número como abc.
  • Se a=1, então
b + c = 10 - 1 = 9,
com b,cin0,dots,9. Há uma solução para cada b=0,1,dots,9, totalizando 10 soluções.
  • Se a=2, então
b + c = 10 - 2 = 8,
com b,cin0,dots,9. Aqui b pode ser 0,1,dots,8, gerando 9 soluções.

Passo 4

Não há outros casos relevantes:
  • a=0 corresponde aos números de dois dígitos já contados.
  • a>=3 gera números >=300; o único caso 300 tem soma 3, não conta.

Passo 5

Somando todas as soluções:
9 (2 dígitos) ;+;10 (a=1);+;9 (a=2)=28 í
Logo existem 28 números de 1 até 300 cuja soma de algarismos é 10.

Resposta

(d) 28 números

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