CMRJ - Uma determinada mercadoria sofreu um aumento de certa percentual e, depois, sobre o preço aumentado, sofreu um desconto de metade desta percentual. Sabendo que o preço final é de 12 % maior que o preço inicial, sobre o aumento inicial podemos afirmar que:
a) ele só pode ter um valor, inferior a 50%
b) ele só pode ter um valor, superior a 50%
c) ele pode ter dois valores, ambos superiores a 50%
d) ele pode ter dois valores, ambos inferiores a 50%
e) ele pode ter dois valores, um inferior e outro superior a 50%

Passo 1

O enunciado nos diz que uma mercadoria com preço inicial P0 recebe primeiro um aumento de x% e, depois, sobre o novo preço, um desconto de metade desse percentual. O preço final fica 12% acima de P0. O conteúdo envolvido é porcentagem composta e montaremos uma equação em função de x para encontrar suas possíveis soluções.

Passo 2

Definimos a taxa de aumento em forma decimal como p=tfracx100. Após o aumento de p, o preço passa a ser
P1 = P0,(1 + p)
Em seguida há um desconto de tfracp2, levando ao preço final
P2 = P1l(1 - tfracp2r) = P0,(1 + p),(1 - tfracp2)
Pelo enunciado, esse preço final satisfaz
P2 = 1,12,P0

Passo 3

Igualando e simplificando a expressão,
(1 + p)l(1 - tfracp2r) = 1,12 Longrightarrow 1 + tfracp2 - tfracp^22 = 1,12 Longrightarrow p - p^2 = 0,24 Longrightarrow p^2 - p + 0,24 = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em p^2 - p + 0,24 = 0,
p = 1 pm raiz1 - 4cdot0,242 = 1 pm raiz0,042 = 1 pm 0,22,
resultando em
p = 0,6 ou p = 0,4,
ou seja, x=60% ou x=40%.

Passo 5

Dos dois valores obtidos, 40% < 50% e 60% > 50%. Logo, há duas soluções para o aumento inicial, sendo uma inferior e outra superior a 50%.

Resposta

e) ele pode ter dois valores, um inferior e outro superior a 50%.

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