(Colégio Naval-2000) Num círculo, duas cordas AB e CD se interceptam no ponto I interno ao círculo. O ângulo DÂI mede 40^{\circ} e o ângulo CBI mede 60^{\circ}. Os prolongamentos de AD e CB encontram-se num ponto P externo ao círculo. O ângulo APC mede:
a) 10^{\circ}
b) 20^{\circ}
c) 30^{\circ}
d) 40^{\circ}

Passo 1

O enunciado descreve duas cordas AB e CD que se cruzam em I dentro do círculo e cujos prolongamentos AD e BC se encontram em P fora do círculo. Vamos usar dois resultados de geometria de círculos:
  1. Teorema do ângulo inscrito: um ângulo com vértice na circunferência vale metade do arco que ele “vê”.
  2. Teorema do ângulo formado por duas secantes externas: o ângulo entre duas secantes que partem de P é metade da diferença dos arcos interceptados pelas secantes.

Passo 2

O ângulo \angle D\!A I tem um lado em AD e o outro no prolongamento de AB através de I. Logo
\angle D\!A I = \angle D\!A B
é um ângulo inscrito que intercepta o arco DB. Pelo teorema do ângulo inscrito,
\angle D\!A B = \tfrac12\bigl(\widehat{DB}\bigr),
então
\widehat{DB} = 2\cdot 40^\circ = 80^\circ.

Passo 3

Analogamente, \angle C B I = \angle C B A intercepta o arco CA. Assim
\angle C B A = \tfrac12\bigl(\widehat{CA}\bigr)
e
\widehat{CA} = 2\cdot 60^\circ = 120^\circ.

Passo 4

As secantes de P passam por A e D, e por C e B. Pelo teorema do ângulo externo formado por duas secantes, temos
\angle A P C = \tfrac12\bigl|\widehat{DB} - \widehat{CA}\bigr| = \tfrac12\bigl|80^\circ - 120^\circ\bigr| = \tfrac12\cdot 40^\circ = 20^\circ.

Resposta

b) 20^\circ

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