(Colégio Naval-86/87) As bases de um trapézio medem 3 cm e 9 cm . Os segmentos determinados pelas diagonais do trapézio sobre a base media, são proporcionais aos números:
a) 1,1,1
b) 1,2,1
c) 1, 3, 1
d) 1,4,1
e) 2,3,4

Passo 1

O enunciado descreve um trapézio cujas bases medem \,3\text{ cm} (base menor) e \,9\text{ cm} (base maior). Ele pede que a gente ache os comprimentos dos três segmentos em que as diagonais cortam a base média (segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos) e compare-os como uma proporção de três números inteiros.

Passo 2

Para explorar isso de forma simples, vamos usar coordenadas. Escolhemos a base maior AB sobre o eixo x, com
A = (0,0),\quad B = (9,0).
A base menor CD fica paralela a AB, a uma altura arbitrária h. Se a colocarmos de forma isósceles, temos
D = \Bigl(\tfrac{9-3}{2},\,h\Bigr) = (3,h),\quad C = \bigl(6,h\bigr).

Passo 3

Os pontos médios dos lados AD e BC formam a base média MN:
M = \Bigl(\tfrac{0+3}{2},\,\tfrac{0+h}{2}\Bigr) = (1{,}5,\,\tfrac{h}{2}),\quad N = \Bigl(\tfrac{9+6}{2},\,\tfrac{0+h}{2}\Bigr) = (7{,}5,\,\tfrac{h}{2}).
Para facilitar a interseção com as diagonais, fixamos h=2, então M=(1{,}5,1) e N=(7{,}5,1).

Passo 4

A diagonal AC vai de A=(0,0) a C=(6,2). Seu ponto de interseção P com a reta y=1 (base média) satisfaz
(0,0)+t\bigl(6,2\bigr)=(6t,2t),\quad 2t=1\implies t=\tfrac12,
logo P=(3,1).
A diagonal BD vai de B=(9,0) a D=(3,2). Seu ponto de interseção Q com y=1 satisfaz
(9,0)+s\bigl(-6,2\bigr)=(9-6s,2s),\quad 2s=1\implies s=\tfrac12,
logo Q=(6,1).

Passo 5

Agora, na base média MN (de x=1{,}5 a x=7{,}5), temos os pontos em ordem M=(1{,}5,1), P=(3,1), Q=(6,1), N=(7{,}5,1). Os comprimentos são
MP = 3 - 1{,}5 = 1{,}5,\quad PQ = 6 - 3 = 3,\quad QN = 7{,}5 - 6 = 1{,}5.
Em proporção:
MP:PQ:QN = 1{,}5:3:1{,}5 = 1:2:1.

Resposta

b) 1,2,1

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