(Colégio Naval-86/87) As bases de um trapézio medem 3 cm e 9 cm . Os segmentos determinados pelas diagonais do trapézio sobre a base media, são proporcionais aos números:
a)
b)
c) 1, 3, 1
d)
e)
a)
b)
c) 1, 3, 1
d)
e)
Passo 1
O enunciado descreve um trapézio cujas bases medem
(base menor) e
(base maior). Ele pede que a gente ache os comprimentos dos três segmentos em que as diagonais cortam a base média (segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos) e compare-os como uma proporção de três números inteiros.
Passo 2
Para explorar isso de forma simples, vamos usar coordenadas. Escolhemos a base maior
sobre o eixo
, com
A base menor
fica paralela a
, a uma altura arbitrária
. Se a colocarmos de forma isósceles, temos
Passo 3
Os pontos médios dos lados
e
formam a base média
:
Para facilitar a interseção com as diagonais, fixamos
, então
e
.
Passo 4
A diagonal
vai de
a
. Seu ponto de interseção
com a reta
(base média) satisfaz
logo
.
A diagonal vai de
a
. Seu ponto de interseção
com
satisfaz
A diagonal
logo
.
Passo 5
Agora, na base média
(de
a
), temos os pontos em ordem
,
,
,
. Os comprimentos são
Em proporção:
Resposta
b)