(Epcar-2003) Num quadrado ABCD de lado 3 cm , os pontos P e Q dividem a diagonal \overline{\mathrm{AC}}, nessa ordem, em partes iguais. A distância de P ao vértice B é um número x que dividido por (\sqrt{5}+1) resulta
a) \frac{5+\sqrt{5}}{4}
b) \frac{5-\sqrt{5}}{4}
c) \frac{\sqrt{5}}{4}
d) \frac{5 \sqrt{5}-5}{4}

Passo 1

O enunciado considera um quadrado ABCD de lado 3 cm e diz que os pontos P e Q dividem a diagonal \overline{AC} em três partes iguais. Precisamos achar a distância de P ao vértice B, chamar esse valor de x, e então calcular
\frac{x}{\sqrt{5}+1}
para identificar qual alternativa corresponde.

Passo 2

Para facilitar, colocamos o quadrado no plano cartesiano:
A=(0,0), B=(3,0) e C=(3,3).
Como P é o primeiro terço de AC, temos
P = A + \tfrac{1}{3}(C - A) = (0,0) + \tfrac{1}{3}(3,3) = (1,1).

Passo 3

Usamos a fórmula da distância entre pontos para PB:
x = PB = \sqrt{(3-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

Passo 4

Agora calculamos a razão pedida e racionalizamos o denominador:
\frac{x}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{5 - \sqrt{5}}{4}.

Resposta

b) \frac{5-\sqrt{5}}{4}

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